532-天馬行空的解題經驗.doc

         天馬行空的解題經驗 ◎ 李維昌/國立宜蘭高中


 

 龍騰出版社發行《數學新天地》的徵答題目,一向是我解題素材的精神糧食。所以,一如往昔一拿到贈閱的《數學新天地》雜誌,便飛快地翻閱該期的徵答題目,一睹許志農教授所精心挑選、設計的徵答題目。往往拿到該期雜誌時已是出刊後的幾天,由於要爭取時效性,若非有突發奇想的解法,很難獲得許教授的青睞而推薦刊登在下一期的解答篇。 因此看到以下的精采題目時, 


 

如下圖所示: 是面積為 的矩形, 分別代表所在三角區域的面積:試證:
便企圖想找出一針見血的解法,期待此解法能言簡意賅,猶如無字證明般的神奇功效,來詮釋此問題核心的所在。讓看到此解法的人能會心一笑,心中默想竟會有如此突兀的想法,以簡短的三行內容,成為疑似此題的最佳解。猶如孔子作春秋,一字定褒貶,能恰如其分。最後皇天不負苦心人,眾裡尋他千百度,那人卻在燈火闌珊處,我竟然得到此題的妙解,這個結果是可遇不可求的。以下是我追尋此法的心路歷程,提供讀者來奇想共賞析,不吝指教。   首先靈光乍現,追溯到高中時期,物理課本所提到的概念「因次分析」,由於 皆可表為長度的四次方。因此,我大膽地猜測,欲證明的方程式,可能由題目的圖形上某特定的四個線段,經由重排的概念列等式,使左式與右式四線段的乘積相等。觀察圖形,由於 ,因此便選取心目中理想的四線段 成為最佳的主角。此四線段的乘積組成為等號的左式,另一方面此四線段的乘積經由重排,兵分二路,分配成 的乘積成為等號的右式。是不是上天的刻意安排?恰好配合得天衣無縫, ,達到我滿心期待、小心求證的目標。由上面的論述,整理成三行內容的解法:整理得      
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 孔子曾言:「學而不思則罔,思而不學則殆。」我期待每次解題時,皆能直搗黃龍,一眼看穿堂奧之妙,事後「大膽假設,小心求證」。檢驗過程和結果,是否達到最佳化?藉由在夙昔的典範,亦步亦趨,臻於真、善、美的解題境界。