天馬行空 的解題經驗

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         天馬行空的解題經驗 ◎ 李維昌/國立宜蘭高中


 

 龍騰出版社發行《數學新天地》的徵答題目,一向是我解題素材的精神糧食。所以,一如往昔一拿到贈閱的《數學新天地》雜誌,便飛快地翻閱該期的徵答題目,一睹許志農教授所精心挑選、設計的徵答題目。往往拿到該期雜誌時已是出刊後的幾天,由於要爭取時效性,若非有突發奇想的解法,很難獲得許教授的青睞而推薦刊登在下一期的解答篇。 因此看到以下的精采題目時, 


 

如下圖所示: 是面積為 的矩形, 分別代表所在三角區域的面積:試證:
便企圖想找出一針見血的解法,期待此解法能言簡意賅,猶如無字證明般的神奇功效,來詮釋此問題核心的所在。讓看到此解法的人能會心一笑,心中默想竟會有如此突兀的想法,以簡短的三行內容,成為疑似此題的最佳解。猶如孔子作春秋,一字定褒貶,能恰如其分。最後皇天不負苦心人,眾裡尋他千百度,那人卻在燈火闌珊處,我竟然得到此題的妙解,這個結果是可遇不可求的。以下是我追尋此法的心路歷程,提供讀者來奇想共賞析,不吝指教。   首先靈光乍現,追溯到高中時期,物理課本所提到的概念「因次分析」,由於 皆可表為長度的四次方。因此,我大膽地猜測,欲證明的方程式,可能由題目的圖形上某特定的四個線段,經由重排的概念列等式,使左式與右式四線段的乘積相等。觀察圖形,由於 ,因此便選取心目中理想的四線段 成為最佳的主角。此四線段的乘積組成為等號的左式,另一方面此四線段的乘積經由重排,兵分二路,分配成 的乘積成為等號的右式。是不是上天的刻意安排?恰好配合得天衣無縫, ,達到我滿心期待、小心求證的目標。由上面的論述,整理成三行內容的解法:整理得      
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 孔子曾言:「學而不思則罔,思而不學則殆。」我期待每次解題時,皆能直搗黃龍,一眼看穿堂奧之妙,事後「大膽假設,小心求證」。檢驗過程和結果,是否達到最佳化?藉由在夙昔的典範,亦步亦趨,臻於真、善、美的解題境界。

 

利用雙十字交乘法來剖析 且 為何其圖形為雙曲線或相交的兩直線

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利用雙十字交乘法來剖析 為何其圖形為雙曲線或相交的兩直線             國立宜蘭高中
李維昌  老師
 研究目的:教師在學生無平移及旋轉的觀念的前題下,利用雙十字交乘法來解釋 ,其圖形為雙曲線或相交的兩直線。研究過程:分成兩種情況來討論:一、 利用雙十字交乘法,,解得 可將 表為因此等價為(1) 的圖形為相交兩直線,其方程式分別為交點座標為(2) 的圖形為雙曲線,兩漸近線的方程式分別為交點座標為此交點座標亦為雙曲線的中心點座標。         二、 利用雙十字交乘法,,解得 可將 表為因此等價為(1) 的圖形為相交兩直線,其方程式分別為交點座標為    (2) 的圖形為雙曲線,兩漸近線其方程式分別為交點座標為 此交點座標亦為雙曲線的中心點座標。 結論: (1) ,其圖形為相交的兩直線。(2) ,其圖形為雙曲線。

 

利用正射影及外積的概念來求兩歪斜線的公垂線段的距離及兩端點座標

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利用正射影及外積的概念來求兩歪斜線的公垂線段的距離及兩端點座標

                                               李維昌 / 國立宜蘭高中

如上圖所示,已知空間直角座標系中, 為原點,兩歪斜線 分別通

過點 、點 的方向向量分別為 ,四邊形 為矩形, ,試求 的長度、 的座標。

解:(1)因為四邊形 為矩形,利用正射影及外積的概念,       ,得 (2)因為                             解得  因此         註:本文所有的射線符號 都代表向量符號。

 

利用平面的法向量來求兩歪斜線的公垂線段的兩端點座標

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利用平面的法向量來求兩歪斜線的公垂線段的兩端點座標

                                              李維昌 / 國立宜蘭高中

研究目的:試圖以另類的方法來探求兩歪斜線的公垂線段的兩端點座標。

研究過程:

 已知空間直角座標系中, 為原點,兩歪斜線 分別通過點 、點

的方向向量分別為 ,試求 與公垂線的交點 與公垂線的交點 的座標。

一、 與公垂線的交點 的求法:

1.      的平面 的法向量平行

證明:            

      因此 平行平面 的法向量。

2.   平面     ,因此                   解得                         3.     

二、 與公垂線的交點 的求法:

4.  的平面 的法向量平行

證明:            

      因此 平行平面 的法向量。

5.   平面     ,因此                   解得                         6.      三、結論:設      1.      2.    四、實際應用:    空間二歪斜線:     為空間    直角坐標系的原點, 。試求:    (1) 與公垂線的交點  (2) 與公垂線的交點  解:            

 

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